馬桶座

時有所聞，女性抱怨同住的男性用完廁所不把馬桶座保持向下。唉，萬年馬桶問題。我們都知道。有時我在想，有時候馬桶的使用需要馬桶座向下，有時候向上（男性小便）。既然如此，一直保持馬桶座向下是一個好主意嗎？我的直覺告訴我用完不動應該比較公平。我想要驗證。

假設下列

• 男性小便前，一定會把馬桶座掀起。
• 令 x = 馬桶座需要向上的比例，0 ≤ x ≤ 1
• 為求簡化，假設上廁所是一個無記憶性過程（一次上廁所對下一次沒有影響）。
• 掀放馬桶座的工作量是 1。

舊規則：保持朝下

當男性上廁所時，他必須要先把馬桶座掀起，用完後放下。這個事件有 x 的發生機率，所以總工作量為 2x。

新規則：用完不動

當一個人去上廁所時，有 x 的機率馬桶座已經朝上，(1 – x) 的機率已經朝下。下列兩個事件為需要掀放馬桶座

1. 馬桶座向下，而一名男性需要小便
2. 馬桶座向上，而上廁所的人需要把它放下

馬桶座向下有 (1 – x) 的機率，而一名男性需要小便的機會是 x。根據獨立事件的假設第一個事件有 x(1 – x) 的機率。同理可證，第二個事件有 x(1 – x) 的機率。因為這兩個事件不交集，所以共有 2x(1 – x) 的機率需要掀放。而一次掀放的工作量是 1，所以去一次廁所所需要的工作量的期望值為 2x(1 – x)。

結論

因為 0 ≤ x ≤ 1，所以 2x ≥ 2x(1 – x)。也就是說，上完不動是比較有效率的。

雖然我沒有對公平性作出證明，至少做法男性跟女性都有分攤到掀放的責任。這個絕對是比只有男性掀放是來的公平。

未來展望

• 工作量期望值得下限
• 公平性
• 非獨立性上廁所過程
• 模擬